Elliptische und parabolische Probleme mit nichtlokalen Abhängigkeiten

Authors: 
Pavlov, Pavel
Year: 
2002
Language: 
German
Abstract in English: 
The modeling of population dynamics by methods of the functional analysis were investigated in the thesis. We consider a model, so that the diffusion velocity at one point depends on the population in another place. We suggest that the function describing the nonlocality is measureable. One can apply nonlocal partial differential equations also for modeling the morphogenetic cell development. In the first chapter we give a contraexampel to understand why a nonlocal problem may posess multiple different solutions. Further we proof the existence and uniqueness of weak solutions for nonlocal elliptic problems. The elliptic PDE describes the stationary state of the population. We show the uniqueness of solutions under smoothness assumptions for the function, wich describes the nonlocality. For treating the parabolic case we introduce vectorvalued functions. We give the definition of itegrability for this kind of functions and develop tools like the Bochner integral and vector valued distributions. Thereafter we use this tools to proof the existence and uniqueness of weak solutions for nonlocal parabolic problems. In the end some examples describing phenomena in physics and biology were mentioned. The methods for computing a turbulence model and calculating simple population movement were developed.
Abstract: 
Die Arbeit versucht Einblick in die Methodik der Populationsmodellierung aus dem Blickwinkel der Funktionalanalysis zu verschaffen. Wir überlegen uns ein Modell, bei dem die Diffusionsgeschwindigkeit im Punkt x von einem anderen Ort abhängt. Die Funktion, die die Nichtlokalität beschreibt, sei als meßbar vorausgesetzt. Nichtlokale Modelle finden auch Verwendung bei der morphogenetischen Entwicklung von Zellen. Dabei entstehen räumliche Muster, deren Vielfalt man aus der Tierwelt kennt. In dem ersten Kapitel wird ein Nichteindeutigkeitsresultat genannt, das als Gegenbeispiel dienen soll und einen Aufschluß darüber liefert, aus welchen Gründen ein nicht- lokales Problem mehrere voneinander verschiedene Lösungen besitzen kann. Wir werden die Frage nach Existenz und Eindeutigkeit von schwachen Lösungen elliptischer partieller Di erentialgleichungen untersuchen, die den stationären Fall nach Einstellen des Gleichgewichts beschreiben. Nachdem die Existenz unter sehr allgemeinen Bedingungen für den elliptischen Fall gezeigt wird, gehen wir zu der Eindeutigkeit über. Wir bringen einen Beweis unter gewissen Glattheitsvoraussetzungen. Selbstverständlich ist auch das parabolische Analogon der Modellgleichung von Wichtigkeit. Die parabolischen Differentialgleichungen können beispielsweise die zeitli- che Entwicklung von Populationen modellieren. Für die Untersuchung des parabolischen Falls werden wir spezielle Funktionenräume und Integrale einführen. Wir werden den Zu- gang zu vektorwertigen Distributionen aufbauen und dann die dargestellte Theorie zum Beweis der Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen instationärer Probleme einsetzen. In der Arbeit wird auch die Existenz schwacher Lösungen parabolischer Differentialgleichungen bewiesen. Dann betrachten wir die Frage der Eindeutigkeit bei parabolischen Problemen. Zum Schluß werden Phänomene aus der Biologie und aus der Physik genannt, die mittels nichtlokaler parabolischer Di erentialgleichungen modelliert werden können.
Pubdate / Erscheinungsdatum: 
2002-09-30
Pages / Seitenanzahl: 
88
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