Kartenfärbung auf Flächen höheren Geschlechts

Authors: 
Moll, Benjamin
Year: 
2011
Language: 
German
Abstract in English: 
When coloring political maps adjacent countries usually get colored with different colors. However, there are countries that have the same color if they have no common border. But how many different colors suffice to color a map in accordance with these rules? The two mathematicians Appel and Haken have shown that for any map in the plane four colors suffice. This proof, however, is founded on intensive computer use. This work deals with the generalization of this four-color theorem on surfaces of higher genus. The aim is to find the smallest number of colors for a given topological surface, so you can color in any map on this surface with these colors without two adjacent countries having the same color. It turns out that this question can be answered for all surfaces except the sphere without using computers. This has been fully proved by Ringel for every surface except the sphere, even before the proof of the four-color theorem was provided.
Abstract: 
Auf politischen Landkarten werden für gewöhnlich aneinandergrenzende Länder mit unterschiedlichen Farben gefärbt. Allerdings haben durchaus verschiedene Länder die gleiche Farbe, wenn sie keine gemeinsame Grenze haben. Doch wie viele verschiedene Farben benötigt man mindestens, um eine Karte nach diesen Regeln zu färben? Die beiden Mathematiker Appel und Haken haben gezeigt, dass für jede Landkarte in der Ebene immer vier Farben ausreichen. Dieser Beweis kommt allerdings nicht ohne intensiven Computereinsatz aus. In dieser Arbeit geht es um die Verallgemeinerung dieses Vierfarbensatzes auf Flächen höheren Geschlechts. Ziel ist es also, zu einer gegebenen topologischen Fläche die kleinste Zahl an Farben zu finden, so dass man jede auf dieser Fläche mögliche Landkarte mit diesen Farben einfärben kann, ohne dass zwei aneinander grenzende Länder die gleiche Farbe erhalten. Interessanterweise stellt sich heraus, dass diese Frage für alle Flächen außer der Kugel ohne Computereinsatz beantwortbar ist. Dies wurde von Ringel vollständig für jede Fläche außer der Kugel bewiesen und zwar bevor der Beweis des Vierfarbensatzes erbracht worden war.
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