Sarnak’s Conjecture about Möbius Function Randomness in Deterministic Dynamical Systems
Tue, 2016-03-29 18:32 — Anonymous
Year:
2016
Language:
English
Abstract in English:
The thesis in hand deals with a conjecture of Sarnak from 2010 about the orthogonality
of sequences induced by deterministic dynamical systems to the Möbius
μ-function. Its main results are the ergodic theorem with Möbius weights, which
is a measure theoretic (weaker) version of Sarnak’s conjecture, and the already
assured validity of Sarnak’s conjecture in special cases, where we have exemplarily
chosen the Thue–Morse shift and skew product extensions of rational rotations on
the circle et al.
For the purpose of motivation, we show that a certain growth rate estimation for the Mertens function is equivalent to the prime number theorem and outline a result about
another such estimation being equivalent to the Riemann hypothesis to underline
the significance of the Möbius function for number theory. Since it is essential for
the understanding of Sarnak’s conjecture we give an introduction to the theory of
entropy of dynamical systems based on the definitions of Adler–Konheim–McAndrew,
Bowen–Dinaburg and Kolmogorov–Sinai. Furthermore, we calculate
the topological entropy of the Thue–Morse shift and of skew product extensions
of rotations on the circle. We study the ergodic decomposition for T-invariant measures
on compact metric spaces with continuous transformations T, which we will
need for the proof of the ergodic theorem with Möbius weights.
Thereafter, we prove the namely weighted ergodic theorem.We give a sufficient
condition for Sarnak’s conjecture to hold for a given dynamical system, which
we make use of in the following chapter. Thereupon, it is varified that Sarnak’s
conjecture holds for the Thue–Morse shift and for skew product extensions of
rational rotations on the circle. Lastly, it is shown that Sarnak’s conjecture follows
from one of Chowla.
Abstract:
Die vorliegende Arbeit befasst sich mit einer Vermutung von Sarnak aus dem
Jahre 2010 über die Orthogonalität von durch deterministische dynamische Systeme
induzierte Folgen zur Möbiusschen μ-Funktion. Ihre Hauptresultate sind zum einen
der Ergodensatz mit Möbiusgewichten, welcher eine maßtheoretische (schwächere)
Version von Sarnaks Vermutung darstellt, und zum anderen die bereits gesicherte
Gültigkeit der genannten Vermutung in Spezialfällen, wobei hier exemplarisch unter
anderem der Thue–Morse Shift und Schiefprodukterweiterungen von rationalen
Rotationen auf dem Kreis gewählt worden sind.
Zum Zwecke der Motivation zeigen wir, dass eine gewisse Wachstumsabschätzung
für die Mertensfunktion äquivalent ist zum Primzahlsatz und skizzieren ein Resultat, welches
die Äquivalenz einer weiteren solchen Abschätzung zur Riemannschen Vermutung
liefert, um auf diese Weise die Bedeutung der Möbiusfunktion für die Zahlentheorie
herauszustellen. Da sie für das Verständnis von Sarnaks Vermutung unerlässlich
ist, geben wir eine Einführung in die Theorie der Entropie dynamischer Systeme
auf Grundlage der Definitionen von Adler–Konheim–McAndrew, Bowen–Dinaburg und Kolmogorov–Sinai. Ferner berechnen wir die topologische Entropie
des Thue–Morse Shifts und von Schiefprodukterweiterungen von Rotationen
auf dem Kreis. Wir studieren die ergodische Zerlegung T-invarianter Maße auf
kompakten metrischen Räumen mit stetiger Transformation T, welche wir für den
Beweis des Ergodensatzes mit Möbiusgewichten benötigen.
Sodann beweisen wir den genannten gewichteten Ergodensatz. Wir geben eine
hinreichende Bedingung an für das Erfülltsein von Sarnaks Vermutung in einem
gegebenen dynamischen System, welche im anschließenden Kapitel Anwendung findet.
So wird nachgewiesen, dass Sarnaks Vermutung im Falle des Thue–Morse Shifts
und von Schiefprodukterweiterungen von rationalen Rotationen auf dem Kreis erfüllt
ist. Abschließend wird gezeigt, dass Sarnaks Vermutung sich als Konsequenz
aus einer Vermutung von Chowla ergibt.
Pages / Seitenanzahl:
104
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