Das Auswahlaxiom

Authors: 
Röhl, Claudius
Year: 
2016
Language: 
German
Abstract: 
In dieser Arbeit möchte ich dem Wesen des Auswahlaxioms auf den Grund gehen und verstehen, inwieweit es problematisch sein könnte, es zu benutzen, aber auch wie nützlich es ist, dieses mächtige Instrument als Mathematiker zu besitzen. Dazu werde ich im ersten Kapitel ein paar mengentheoretische Grundlagen legen. Der Abschnitt 1.1 ist der Zermelo-Fraenkel-Axiomatisierung der Mengenlehre gewidmet, in der das Auswahlaxiom eingebettet ist und die den äußeren Rahmen unserer Betrachtungen darstellt. Der Vollständigkeit halber werden in Abschnitt 1.2 einige alternative, zumeist schwächere Formen des Auswahlaxioms genannt, die im Weiteren nicht groß aufgegriffen werden. Der Abschnitt 1.3 behandelt die Mächtigkeit von Mengen, die die Grundlage für die restlichen Abschnitte in diesem Kapitel bilden. In 1.4 führen wir den Begriff der Ordinalzahl ein, was wiederum eine essentielle Grundlage für den nachfolgenden Abschnitt 1.5 bildet, der die transfinite Induktion und Rekursion behandelt. Insbesondere die Abschnitte 2.2, 2.3 und 2.7 benötigen die transfinite Induktion und Rekursion. Am Ende des ersten Kapitels definieren wir die Kardinalzahlen aufbauend auf den vorherigen Kapiteln, um insbesondere den Satz von König in 2.4 verstehen und beweisen zu können. Das zweite Kapitel beschäftigt sich ausführlich mit äquivalenten Formulierungen des Auswahlaxioms. Im Abschnitt 2.1 stelle ich ein paar für den weiteren Verlauf unerlässliche, recht einfache Äquivalenzen vor, die eher technischen Charakter haben. Die Wahl der anderen äquivalenten Darstellungen ist rein subjektiv, wobei ich versucht habe eine gute Mischung zwischen oft gebrauchten aber selten bewiesenen Äquivalenzen (wie das Lemma von Zorn in 2.2, den Wohlordnungssatz in 2.3 und den Satz von Tychonoff in 2.5), eher sporadisch anzutreffenden Sätzen (wie dem Satz von König in 2.4), bis hin zu nahezu unbekannten, exotischen Formulierungen, wie in 2.6 und 2.7, zu erreichen, und dabei zugleich möglichst unterschiedliche Bereiche der Mathematik abzudecken, wie Mengentheorie (2.2, 2.3, 2.4), Topologie in 2.5, Graphentheorie in 2.6 und Funktionalanalysis in 2.7. Die mit Abstand aufwändigste Äquivalenz und ein Kernstück meiner Arbeit findet sich in diesem letzten Abschnitt, wobei hier besonders der Satz von Krein-Milman eine Rolle spielt. Im dritten Kapitel konzentriere ich mich auf merkwürdige Konsequenzen des Auswahlaxioms, die (zu entkräftende) Argumente gegen die Benutzung desselben bereitstellen. Man könnte auch den Abschnitt 2.3 dazu zählen, da der Wohlordnungssatz im Allgemeinen auch als kontraintuitiv empfunden wird. Dazu führe ich in 3.1 das Paradoxon von Banach-Tarski aus, wobei ich nicht den üblichen Weg beschreite, sondern unter Zuhilfenahme des Konzepts der Zerlegungsäquivalenz einen alternativen Zugang wähle, der ohne Angabe einer konkreten Zerlegung der Einheitskugel auskommt. Ein paar Anmerkungen zum leichten und schweren Maßproblem runden 3.1 ab. Im Abschnitt 3.2 habe ich unter Zuhilfenahme einer kleinen Geschichte einen Anschlag auf die Intuition des Lesers vor. Im letzten Kapitel schließlich will ich auf einige "abgeschwächte" Formen des Auswahlaxioms eingehen und ihre Zusammenhänge untereinander etwas beleuchten. Abschnitt 4.1 ist einer eher seltenen Formulierung des Satzes von Hahn-Banach gewidmet, wohingegen 4.2 einen in der Literatur oft auftauchenden Referenzpunkt für Abschwächungen des Auswahlaxioms, den Booleschen Primidealsatz, näher beleuchtet. In 4.3 werde ich einen kleinen Exkurs in die Logik wagen und einige metamathematische Aspekte der Modelltheorie ansprechen, die als Ausblick verstanden werden können.
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